6 Mayıs 2008 Salı

ÜSLÜ SAYILAR

ÜSLÜ SAYILAR

M m

Tanım: a € R ve m € z+ olmak üzere a.a.a........a =a ‘dir.a ifadesinde a’ ya taban m’ ye m tane üs denir.Bu ifade a üssü m yada a’ nın m kuvveti diye okunur.

Örnek:

2 4

5 . 5 = 5 x .x . x .x = x ...... vb. gibi

n

a 0 ise a 0 pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.

2n

a 0 ise a 0 negatif gerçek sayıların çift kuvvetleri ( +) dır.

2n+1

a 0 ise a 0 negatif gerçek sayıların tek kuvvetleri ( -) dır.

ÜSLÜ İFADELERDE ÖZELLİKLER

1-) Tabanları aynı olan üslü 2 ifadenin çarpımında tabanlar değişmez.Üsler toplanır.

Örnek:

5 4 5+4 9

2 . 2 = 2 =2 olur.

2-) Üsleri aynı olan iki üslü ifadenin çarpımında tabanlar çarpılır.Elde edilen çarpıma ortak üs , üs olarak yazılır.Üs değişmez.

Örnek:

3 3 3 3

(x –y) . (x+ y) = [ (x – y) (x + y ) ] = ( x-y ) olur.

3-) Üslü ifadenin kuvveti alınırken tabanları değişmez. Üsler çarpılır.

Örnekler:

4

5 5. 4 20

( 2 ) = 2 = 2

4 -) Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü sayıların bölümünde tabanlar bölünür , üsler değişmez

KÖKLÜ SAYILAR

KÖKLÜ SAYILAR

A. TANIM
n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir.


B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELİKLERİ
1) n tek ise, daima reeldir.
2) n çift ve a < alt="" src="http://www.matematikaski.com/kok_kesir03.gif" onload="NcodeImageResizer.createOn(this);" border="0" originalheight="28" originalwidth="30"> reel sayı belirtmez.
3) a ³ 0 ise, daima reeldir.
4) a ³ 0 ise,
5) n tek ise,
6) n çift ise,
7)
8) n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,

9) n tek ise,

10) a, pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,

11) k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere,

12) (a ¹ 0 ve b ¹ 0) ise,

C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER
1. Toplama - Çıkarma
Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin kat sayıları toplanır ya da çıkarılır.
Bulunan sonuç köklü ifadenin kat sayısı olur.


2. Çarpma
n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,


3. Bölme
Uygun koşullarda,


4. Paydayı Kökten Kurtarma
Uygun koşullarda,







D. İÇ İÇE KÖKLER

V) 0 <>


E. SONSUZ KÖKLER


Yukarıdaki son iki özelikte a, ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise, v. nin cevabı bu sayıların büyüğü, vı. nın cevabı bu sayıların küçüğüdür.

F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA
Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.

PROBLEMLER

PROBLEMLER


A. PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ


Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.


Buna göre, soruları çözerken;


1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.


2) Verilenler matematik diline çevrilir.


3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.


4) Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.


B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME


Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.


1) Herhangi bir sayı x olsun.


Sayının a fazlası : x + a dır.

Sayının a fazlasının yarısı :
Sayının yarısının a fazlası :


Sayının küpünün a eksiği :

2) Herhangi iki sayı x ve y olsun.


Bu iki sayının toplamının a katı : a . (x + y) dir.


Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir.


Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir.


3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.


Ardışık üç tam sayının toplamı :


x + (x + 1) + (x + 2) dir.


Ardışık üç çift sayının toplamı :


x + (x + 2) + (x + 4) tür.



A. KESİR PROBLEMLERİ


ye kesir denir.

* Herhangi bir sayı x olsun.
Bu sayının 1/a 'sı

Bu sayınınsının 1/a 'sının b fazlası :


Bu sayı 1/a sı kadar 1/a sı kadar artırılırsa :


Bu sayının a/b si ile c/d sinin toplamı :

B. YAŞ PROBLEMLERİ


* Bir kişinin yaşı x ise,

* T yıl önceki yaşı : x - T olur.

* T yıl sonraki yaşı : x + T olur.

* Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.

* İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.

* İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.

* n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar.

C. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ


Bir işi;


A işçisi tek başına a saatte,


B işçisi tek başına b saatte,


C işçisi tek başına c saatte


yapabiliyorsa;

* A işçisi 1 saatte işin 1/a sını bitirir.



* A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir.

A, B, C birlikte t saatte işin sini bitirir.


Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.


A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,




Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.


A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.


Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.


Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte


sını doldurur.

Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.


D. HAREKET PROBLEMLERİ

V : Hareketlinin hızı


x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol


t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,



Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi





Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi yine






Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi




Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı
yakalama süresi yine











Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,


Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,





E. YÜZDE PROBLEMLERİ


A sayısının % a sı :


A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı :



A ya A nın % a sı eklenirse :



A dan A nın % a sı çıkarılırsa :


F. FAİZ PROBLEMLERİ


F : Faiz miktarı
A : Ana para (Kapital)
n : Yıllık faiz oranı
t : Kapitalin faizde kalma süresi
olmak üzere,

t yılda,

t ayda,

t günde,
Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.

Buna göre, A TL yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl sonra



G. KARIŞIM PROBLEMLERİ


A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karıştırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı




Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı