BAĞINTI - KARTEZYEN ÇARPIM

A. SIRALI n Lİ n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre dü-zenlenip, tek bir nesne gibi

düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.

(a, b) sıralı ikilisinde;

a : Birinci bileşen,

b : İkinci bileşendir.

a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.

(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

B. KARTEZYEN ÇARPIM

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B

kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı

denir.

A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.

A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.

A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır.

C. KARTEZYEN ÇARPIMININ
ÖZELLİKLERİ

i) s(A) = m ve s(B) = n ise

s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.

ii) A x (B x C) = (A x B) x C

iii) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)

iv) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)

v) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)

vı) A x Æ = Æ x A = Æ

vıı) D. BAĞINTI

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.

Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.

b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.

s(A) = m ve s(B) = n ise,

A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.

A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.

s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı

b Ì A x B olmak üzere,

b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi

b-1 Ì B x A dır.

Buna göre, b bağıntısının tersi

b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.

E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma Özelliği

A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)

b ise, b yansıyandır.

"x Î A için, (x, x) Î b® b yansıyandır.

2. Simetri Özelliği

b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.

"(x, y) Î b için (y, x) Î b ® b simetriktir.

b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n2 - n) dir.

3. Ters Simetri Özelliği

b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.

b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.

4. Geçişme Özelliği

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

"[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,

olmalı

b bağıntısının geçişme özelliği vardır.

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ

1. Denklik Bağıntısı

b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı ve (x,

y) Î b ise, x denktir. y ye denir.

x º y biçiminde gösterilir.

b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın

denklik sınıfı denir.

–a biçiminde gösterilir.

Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,

–a = {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.

2. Sıralama Bağıntısı

A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı

sıralama bağıntısıdır.