SAYI BASAMAKLARI VE TABANLAR

Sayı Basamakları ve Tabanlar

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.

B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.

a b c = 10³ . a + 10 . b + c

• ab = 10 . a + b
• abc = 100 . a + 10 . b + c
• aaa = 111 . a
• ab + ba = 11 . (a + b)
• ab – ba = 9 . (a – b)
• abc – cba = 99 . (a – c)

C. TABAN

Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.

T taban olmak üzere,

(abcd)_T = a . T³ + b . T² + c . T + d dir.

Burada,

• T, 1 den büyük doğal sayıdır.
• a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
• Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
• (abc, de)T = a . T ² + b . T + c + d . T ^{– 1} + e . T ^{– 2} dir.

1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi

Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.

2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi

Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması

Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.

T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.

Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.

OBEB - OKEK

OBEB - OKEK


A. ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ

(OBEB)

En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve OBEB biçiminde gösterilir.

OBEB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OBEB ini verir.


• Eğer a ¹ 0 veya b ¹ 0 ise OBEB tanımlı olup OBEB(a, b) ³ 1 dir.

• a = b = 0 ise OBEB (a, b) tanımsızdır.



B. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ

(OKEK)

Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir ve OKEK biçiminde gösterilir.

OKEK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OKEK ini verir.


• a ve b tam sayılarından en az biri sıfır ise,

OKEK(a, b) tanımsızdır.


a ve b pozitif tam sayı, a £ b ise,

• OBEB(a, b) £ a £ b £ OKEK(a, b)

• a . b = OBEB(a, b) . OKEK(a, b)

• a ile b aralarında asal ise, OBEB(a, b) = 1

dir.




Ü kesirleri ile tam bölünebilen en küçük pozitif kesir



Ü a ve b pozitif tam sayı olmak üzere,





Ü İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına her zaman eşit değildir.

ORAN ORANTI YÜZDELER

ORAN,ORANTI VE YÜZDELER

Oran,Orantı Ve Özelikleri

Oran:
Aynı cinsten iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.Oran’ın birimi yoktur.
Örnek:
Ahmet’in parası = 300 000 TL. = 3
Ayşe’nin parası =500 000 TL. = 5

İlkay’ın boyu = 140cm = 14 = 7
Erdal’ın boyu = 180cm =18 = 9


Orantı:
2 veya daha fazla orandan oluşan eşitliklere orantı denir.

Genel olarak a = c orantıları birbirine eşitse orantı:
b d
a = c veya a:b=c:d biçiminde yazılabilir.
b d 1.terim a = c 3.terim
2.terim b d 4.terim

a = c
b d
içler dışlar
İçler(ortalar)

a:b = c:d

Dışlar(yanlar)



Orantının Özelikleri

1:Bir orantıda içler çarpımı,dışlar çarpımına eşittir.

a = c a.d = b.c 2 = 4 2.6 = 3.4
b d 3 6 12 = 12


2:Bir orantıda dışların yerleri değiştirildiğinde orantı bozulmaz.

a = c d = c 2 = 4 6 = 4 6.2 = 3.4
b d b a 3 6 3 2 12 = 12


3:Bir orantıda oranların her ikisindede payların ve paydaların yerleri değiştirilirse orantı bozulmaz.

a = c b = d 2 = 4 3 = 6 3.4 = 6.2
b d a c 3 6 2 4 12 = 12


4:Bir orantıda içlerin yerleri değiştirildiğinde orantı bozulmaz.

a = c a = b 2 = 4 2 = 3 2.6 = 3.4
b d c d 3 6 4 6 12 = 12

Örnek:
1: 5 = X 8.X = 5.24 8X = 120 X =120
8 24 8
X = 15




Orantı Çeşitleri

Doğru Orantı:

İki çokluktan biri çoğalırken diğeri de aynı oranda çoğalıyorsa yada biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa böyle çokluklara doğru orantılı çokluklar denir.
Örn:
1:2 defter 1 600 000 olursa 8 defter kaç TL olur?

2 defter 1 600 000 olursa


8 defter X olur.
D.O
X = 8.1 600 000 = 6 400 000 TL.
2
2:a ile b doğru orantılıdır.a=4 iken b=20 ise a=7 iken b kaç olur?

a = k 4 = k k = 1
b 20 5
a = 1 7 = 1 35
b 5 b 5

Uyarı:
Doğru orantı da içler çarpımı dışlar çarpımına eşitlenir.k sabit bir sayı olmak üzere y = k şeklinde ifade edilir. X


Ters Orantı:

İki çoklukdan biri çoğalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa yada biri azalırken diğeri aynı oranda çoğalıyorsa böyle çokluklara ters orantılı çokluklar denir.
Ters orantılı çokluklar arasında X.y = k bağlantısı vardır.
Örn:
1:Boş bir havuzu 4 musluk 9 saatte doldurduğuna göre 12 musluk kaç saatte doldurur?

4 musluk 9 saatte dol.

12 musluk X sa. Dol.
T.O
X = 4.9 X = 3 sa. dol.
12
2:X ile y ters orantılıdır.X = 9 iken y = 16 ise X = 24 iken y kaçtır?

9.16 = k 144 = k
X.y = 144 24. y =144 y = 6

REEL SAYILAR

Reel sayılar

Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel

sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.

Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık

açılımı vardır. Mesela

veya

eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra

bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise

rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak

düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel Sayılara Örnekler

Bazı Yan Bilgiler:

-Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü rasyonel değildir.

-Rasyonel sayılar kümesi'nin sayılabilir olmasına karşılık Reel sayılar kümesi
sayılamazdır.

-İrrasyonel sayılar da kendi içlerinde "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" olarak ikiye
ayrılırlar.

-İrrasyonel sayıların varlığının ilk Yunan matematikçi Pisagor tarafından anlaşılmış
olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu
düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır.

-Arşimet Özelliği: x ve y birer reel sayı olsun ve x sıfırdan büyük olsun. Bu durumdanx > y

özelliğini sağlayan bir n doğal sayısı vardır.

MODÜLER ARİTMETİK

MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde

tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Ü

ise , a º b (mod m) a º b + mk, k Î Z

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu

kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa,

denklik sınıfları

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m

biçiminde gösterilir.

Buna göre, Z/m = {0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1)} dir.

Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)

c º d (mod m)

olmak üzere,

1) a + c º b + d (mod m)

2) a – c º b – d (mod m)

3) a . c º b . d (mod m)

4) an º bn (mod m)

5) a – b º 0 (mod m)

6) k . a º k . b (mod m) dir.

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Üx, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

x^{m – 1} º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış

biçimi

m = ak . b r . c p ve

x^T º 1 (mod m) dir.

m asal sayı ise ,

(m - 1)!+1 º 0 (mod n) dir.

DOĞAL SAYILAR

DOĞAL SAYILAR

0, 1, 2, 3, ... , 50, ... devam eden sayılara doğal sayılar denir.

Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek

doğal sayılar denir.

n bir doğal sayı iken;

Çift doğal sayılar : 2

Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.

Sayma Sayıları

Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.

S = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

SAYI DOĞRUSU

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı

noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.

ONLUK SAYMA DÜZENİ

Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik

gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin, 2543 sayısı içinde 3

birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır.

RAKAM

Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.

Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır.

Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.

BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da

bağıl değer denir.

Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.

SAYI DEĞERİ

Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere

sayı değeri ya da mutlak değeri denir.

ÇÖZÜMLEME

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, ... varsa

bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.

2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +

10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

GRUPLAMA

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.


2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya

= 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ

ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU

4 4 üssü 2 (4'ün karesi, 4'ün ikinci kuvveti)

5 5 üssü 3 (5'in kübü, 5'in üçüncü kuvveti)

3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti)

ÜSSÜN ANLAMI

Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.

10 = 10 x 10 = 100

5 = 5 x 5 x 5 = 125

4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256

3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3, 7=7, 10=10, 15=15

Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir. 80=1, 9=1, 160=1, 0=1

Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1

1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir. 1=1, 1=1, 1=1

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak

yazılır.

ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME

Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü şeklinde yazılır.

5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)

=(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)

DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür.

Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur.

Küçük < Büyük

Büyük > Küçük

< işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür.


DÖRT İŞLEM


DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA

AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir.

A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise

s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6

Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir. İşlemin sonucuna da toplam denir.

Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır. Aynı türden ve birimleri aynı

olan çokluklar toplanabilir.

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna kapalılık özelliği denir.

3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir.

9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir.

aD, bD için (a + b)D dir.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez. Buna toplamada değişme

özelliği denir.

3 + 5 = 8 = 5 + 3

aD, bD ise; a + b=b + a dir.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez. Bu özelliğe

toplama işleminin birleşme özelliği denir.

3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13

aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir.

Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı

sağlanır.

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN

Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir.

5 + 0 = 5

0 + 6 = 6

Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır.

DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA

A = {a,b,c,d,e} B = {d,e}

s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir.

s(A) - s(B) = s(C)

5 - 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır.

B A ise A - B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu

farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir.

Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde

yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir.

ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir.

Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir.

Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0

Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla

beraber 0-3 3'tür.

DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA

Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal

sayısına a ile b'nin çarpımı denir. m=a x b biçiminde gösterilir. Çarpma işareti ( x ) ya da( . )' dır.


ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine

göre kapalıdır denir.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın

değişme özelliği denir.

4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4'tür.

aD, bD için; a x b = b x a 'dır.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe

çarpma işleminin birleşme özelliği denir.

4D, 5D, 2D için

4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40'tır.

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN

Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma

işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.

1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5'dir.

aD için a x 1=1 x a=a 'dır.

YUTAN ELEMAN

Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman

denir.

4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 'dır.

aD için 0 x a=a x 0=0 'dır.

ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve

aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) - (a x c) 'dir.

Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir.

ÇARPMADA KOLAYLIKLAR

Bir sayıyı 10, 100, 1000, ... ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, ... sıfır yazılır.

14 x 10 = 140

16 x 100 = 1600

22 x 1000 = 22000

7 x 10000 = 70000

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4'e bölünür.

25 x 36=(36 x 100)/4=900

Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür.

78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200

Bir sayı 5'le çarpılırken, sayı 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür.

89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445

Bir sayı 9'la çarpılırken, sayı 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır.

56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504

DOĞAL SAYILARDA BÖLME

aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye

bölümü denir. a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir.


BÖLMENİN SAĞLAMASI

Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır.

Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir.

BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur.

4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir.

Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur.

5D, 15D için, 15/5 5/15

Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

(24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12

Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.

2/1 1/2 2 0,5

Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir.

aD için a/1=a dır. 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101

Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.

0/a=0 'dır. 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0

0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir.

aD için a/a=1 'dir. 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1

Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.

5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız

Bir sayıyı 10, 100, 1000 ... ile bölmek;


10'a bölerken bir sıfır silinir. 400/10 = 40

100'e bölerken iki sıfır silinir. 200/100 = 2

1000'e bölerken üç sıfır silinir. 3000/1000 = 3

İŞLEM

İŞLEM

Tanım: A boş olmayan bir küme olsun. A X A kümesinden A kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde tanımlı ikili işlem ya da A kümesine tanımlı işlem denir.

İşlemi Å , ▼, * gibi sembollerle gösteririz.

Örnek; x ve y Reel sayıları için, x*y = x+y+2xy

işlemi tanımlanıyor. ( 4,2 ) sıralı ikilisine karşı gelen sayı kaçtır?

Çözüm;

x*y = x+y+2xy işleminde x = 4 ve y = 2 yazacağız.

4*2 = 4+2+2.4.2 = 24 bulunur.

Burada işlemin tanımına göre 4 ile 2 yi işleme aldığımızda 24 çıkıyor. Bu sonucu daha önce gördüğümüz dört işlemden hiçbirinde bulamayız.

4 + 2 = 8, 4 - 2 = 2, 4.2 = 8, 4:2 = 2

Daha önce öğrendiğimiz dört temel işlemi kullanarak birçok yeni işlemler üretebiliriz. Örneğin

b = a—a2 + b2

x▼y = xy - 2x

x◊y = ( x / y ) + y4

işlemleri bunlardan bazılarıdır.



Neden Farklı İşlemlere Gerek Duyulmuştur?

Örneğin biliyoruz ki bir futbol takımı galibiyete 3, beraberliğe 1 puan almaktadır. Bir futbol takımının puanını

g▼b = 3g + b işlemiyle bulabiliriz.

Bir takım 8 galibiyet, 5 beraberlik almış ise puanı :

8▼5 = 3.8 + 5 = 29 olur.

Sonuç olarak dört işlem yardımıyla tanımladığımız bu yeni işlemler birkaç hesabı içinde barındırır ve kolaylık sağlar. Sözün özü gelişen teknoloji, artan ihtiyaçlar ve çağımızın sürat çağı olması nedeniyle matematik bu ihtiyaçlara cevap verebilecek işlemleri ve enstrümanları geliştirmektedir.

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

BİR KÜMENİN BİR İŞLEME GÖRE KAPALILIĞI

◊ işlemi boş olmayan bir A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. A ' nın her x ve y elemanı için , x◊y işleminin sonucu daima A kümesinin bir elemanı olursa A kümesi ◊ işlemine göre kapalıdır denir.

Örnek; x ve y iki tamsayıdır. * işlemi x*y = xx +3y olarak tanımlanıyor. * işlemi tamsayılar kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; * işleminin kapalı olması için tam sayılar kümesinden bütün elemanları işleme aldığımızda sonuçların tümü tamsayı olmalıdır.

İşlemi iki parçada düşünelim: x*y = xx +3y

Herhangi iki x ve y tamsayısı alalım.

xx bir tamsayının kendi kuvvetidir. Örneğin

11 , 22 , 33 , 44 ,... gibi sayıları hesaplarsak sonuçları hep tamsayı çıkar.

3y ifadesi bir tamsayının 3 ile çarpılacağı anlamındadır. Her tamsayının 3 ile çarpımı yine tamsayıdır.

x*y = xx +3y İşleminin iki parçası da tamsayıdır.

Bu parçaların toplamı yine tamsayı olur. O halde işleme aldığımız tüm tamsayılar sonuç olarak yine tamsayı veriyor.

İşlem tam sayılar kümesinde kapalıdır.

Örnek; y = xy - 2x işlemi doğalÑx sayılar kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; işleminin kapalı olması için doğal sayılarÑ kümesinden bütün elemanları işleme aldığımızda sonuçların tümü doğal sayı olmalıdır. Oysa ;

x = 5 ve y = 4 alırsak

y = xy - 2x işlemiÑx

4 = 5.4 - 2.5 =Ñ5 -10 bulunur.

işlemi doğal sayılar kümesindeÑ-10 doğal sayı olmadığından kapalı değildir.



Örnekler

1. Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; Renkler kümesinden iki renk alıp karıştıralım, karışım sonucu yine bir renk olur. Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalıdır.

2. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; Sıvılar kümesinden iki sıvı alıp karıştırdığımızda, karışım sonucu yine bir sıvı olur mu? Bazen olmaz. İki sıvının karışımının katı olduğu da vardır. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde kapalı değildir.

3. Hayvanlar kümesi Üreme işlemine göre kapalımıdır?

Çözüm; Hayvanlar kümesinin üreme işlemine göre kapalı olması gayet doğaldır. Çünkü üreme sonuçları daima hayvanlar kümesinden bir eleman yani bir hayvan olur, hiçbir zaman iki hayvanın üremesinden farklı bir şey mesela bitki çıkmaz.



DEĞİŞME ÖZELLİĞİ


A boş olmayan bir küme ve * işlemi A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. A'nın bütün x ve y elemanları için

x*y = y*x oluyorsa yani işlemin sırası değişse de sonuç değişmiyor ise * işlemi A kümesinde değişmelidir denir.

Örnek; x ve y reel sayıdır. x*y = x2 - y2

şeklinde tanımlanan * işlemi değişmelimidir?

Çözüm; İşlemde x = 3 ve y = 6 koyalım.

x*y = x2 - y2 = 32 - 62 =-27

y*x = y2 - x2 = 62 - 32 = 27

O halde * işlemi değişmeli değildir.



Örnekler

1. Karıştırma işlemi renkler kümesinde değişmelimidir?

Çözüm; Renkler kümesinden iki renk sözgelimi mavi ile sarı alıp karıştıralım, karışım sonucu yeşil olur. Eğer önce sarı sonra mavi alıp karıştırırsak yine yeşil çıkar. Bu hep böyledir. Renkleri karıştırırken sıranın önemi yoktur. Karıştırma işlemi renkler kümesinde değişmelidir.

2. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde değişmelimidir?

Çözüm; Sıvılar kümesinden iki sıvı alıp karıştırdığımızda, sıranın önemi olmaz. Yani sirke ile limon, limon ile sirkenin aynıdır. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde değişmelidir.



BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Tanım; işlemi A’ da tanımlı birÑA boş olmayan bir küme işlem olsun. A kümesinden alınan üç x,y ve z elemanı

zÑ(yÑz) = (xÑy)Ñz

Şartını sağlıyorsa Ñ işlemi birleşme özeliğine sahiptir.

Kısaca üç elemanın işleminde işlemin sırası değişebiliyorsa birleşme özeliği vardır.

Örnek; Tamsayılar kümesinde x Ñ y = x+4y şeklinde tanımlanan Ñ

işlemi birleşme özelliğine sahip midir?

Çözüm;

(x Ñ y) Ñ z = (x+4y)Ñ z = x+4y +4z

x Ñ (y Ñ z) = x Ñ (y+4z) = x+4y +16z

Sonuçlar farklı olduğundan işlemin birleşme özeliği yoktur.



BİRİM (ETKİSİZ ) ELEMAN

Tanım; A boş olmayan bir küme ve ▼ ifadesi A’ da tanımlı bir işlem olsun ve her x elemanı için A kümesinde

x▼e = e▼x = x

özelliğini sağlayan bir tek e elemanı varsa bu elemana ▼ işleminin etkisiz veya birim elemanı denir.


Örnek; Tamsayılar kümesinde x*y = x+y-3 şeklinde tanımlanmış * işleminin etkisiz (birim) elemanını bulalım.

Çözüm; * işleminin etkisiz elemanına e diyelim,

x*e = e*x = x olmalıdır.

x*e = x+e-3 = x eşitliğini çözersek e =3 bulunur.

e*x = e+x-3 = x eşitliğini çözersek e =3 bulunur.

O halde * işleminin etkisiz elemanı 3 ’ tür.

TERS ELEMAN

Tanım; A boş olmayan bir küme ve * işlemi A’ da tanımlı bir işlem olsun. Bu işlemin etkisiz elemanı e olsun. A' nın her x elemanı için,

x*x-1 = x-1 *x = e

olacak şekilde A kümesinde bir tane x-1 elemanı varsa x-1 , x in * işlemine göre tersidir.



Örnek; xΘy = x+y-3 işlemi tanımlanıyor. Bu işleme göre, 4 ‘ün tersi kaçtır?

Çözüm; 4’ ün tersini bulmak için önce Θ işleminin etkisiz elemanını bulmalıyız. İşlemin değişme özeliği varsa sadece xΘe = x şartını yazmak yeterlidir.

xΘe = x+e-3 = x, e = -x+x+3 =3 yani

e = 3 bulunur. Şimdi ters elemanı bulalım:

4Θ4-1 = 4-1Θ4 = 3 olacak.

Önce 4-1Θ4 = 4-1 + 4 - 3 = 3

4-1 = 3-1=2

Sonra 4Θ4-1 = 4 + 4-1 - 3 = 3

4-1= 3-1=2

4 ' ün tersi 4-1=2 bulunur.

Örnek; Aşağıdaki tabloda verilen @ işleminin özeliklerini araştıralım:

Çözüm;

a. İşlem kapalıdır. Çünkü işlemin sonuçları tanım kümesinin elemanlarıdır. Yani 0, 1, 2, 3 sayılarıdır.

b. İşlemin değişme özeliği vardır. Çünkü tablo esas köşegene göre simetriktir.

İşlemin birim elemanı sıralı satır ve sütunun kesiştiği elemandır. Yani burada 1 dir.

c. 2 ve 0 'ın tersi yani 2-1 ve 0-1 kaçtır?

2 nin tersini bulmak için tabloda 2 nin bulunduğu satırda birim elemanı yani burada 1 ' i ararız. 2 nin satırında 1 yoktur. 2 nin tersi yoktur.
0 ın tersini bulmak için tabloda 0 ın bulunduğu satırda birim elemanı yani burada 1 ' i ararız. 0 ın satırında 1 i bulup yukarı çıkarsak tersini buluruz. 0 ın tersi 0 dır.

d. 2@(3@1) = ? işleminin sonucu kaçtır?

Önce parantez içindeki işlemi yapalım: Tablonun satırında önce 3'ü buluruz. Sonra sütunda 1'i buluruz. İkisinin kesiştiği sayı işlemin sonucudur. (3@1) = 3 dür. Şimdi 2@3 işlemini yapalım. Aynı şekilde 2@3 = 0 bulunur. İşlemin sonucu 2@(3@1) = 0 bulunur.

BAĞINTI - KARTEZYEN ÇARPIM

A. SIRALI n Lİ n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre dü-zenlenip, tek bir nesne gibi

düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.

(a, b) sıralı ikilisinde;

a : Birinci bileşen,

b : İkinci bileşendir.

a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.

(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

B. KARTEZYEN ÇARPIM

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B

kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı

denir.

A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.

A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.

A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır.

C. KARTEZYEN ÇARPIMININ
ÖZELLİKLERİ

i) s(A) = m ve s(B) = n ise

s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.

ii) A x (B x C) = (A x B) x C

iii) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)

iv) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)

v) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)

vı) A x Æ = Æ x A = Æ

vıı) D. BAĞINTI

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.

Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.

b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.

s(A) = m ve s(B) = n ise,

A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.

A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.

s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı

b Ì A x B olmak üzere,

b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi

b-1 Ì B x A dır.

Buna göre, b bağıntısının tersi

b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.

E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma Özelliği

A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)

b ise, b yansıyandır.

"x Î A için, (x, x) Î b® b yansıyandır.

2. Simetri Özelliği

b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.

"(x, y) Î b için (y, x) Î b ® b simetriktir.

b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n2 - n) dir.

3. Ters Simetri Özelliği

b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.

b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.

4. Geçişme Özelliği

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

"[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,

olmalı

b bağıntısının geçişme özelliği vardır.

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ

1. Denklik Bağıntısı

b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı ve (x,

y) Î b ise, x denktir. y ye denir.

x º y biçiminde gösterilir.

b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın

denklik sınıfı denir.

–a biçiminde gösterilir.

Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,

–a = {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.

2. Sıralama Bağıntısı

A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı

sıralama bağıntısıdır.

KÜMELER

KÜMELER


Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,

a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin
elemanı değildir.” diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

A = {a, b, {a, b, c}} Ş s(A) = 3 tür.

2. Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özelliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x ” biçiminde de yazılabilir.

3. Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ilegösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C º D biçiminde gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

D. BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME

1. Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B'nin alt kümesi denir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ÉA biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

2. Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özellikleri

1) Her küme kendisinin alt kümesidir.

A Ì A

2) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Æ Ì A

3) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.

4) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.

5) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿve özalt kümelerinin sayısı 2ⁿ – 1 dir.

6) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

1. Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.

A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.

2. Birleşim Işleminin Özellikleri

1) A È Æ = Ai

2) A È A = A

3) A ÈB = B È A

4) A È (B È C) = (A È B) È Cv) A Ì B ise, A È B = B

5) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.

4. Kesişim Işleminin Özellikleri

1) A Ç Æ = Æ

2) A Ç A = A

3) A Ç B = B Ç A

4) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

5) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

6) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A’ ile gösterilir.

A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.

Tümleyenin Özellikleri

1) E = Æ

2) Æ = E

3) ()= A

4) A È A = E ve A Ç A = Æ

5) A È B = A Ç B

6) A Ç B = A ÈB

7) E È A = E ve E Ç A = A

8) A Ì B ise, B Ì A dir.

İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.

Farkla İlgili Özellikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

1)E – A = A

2)A – B = A Ç B

3) A – B = A È B dir.

ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

1) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)

2) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

3) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)

4) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

s(T) = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

s(A ÈB) = d

MANTIK

-MANTIK-

Önerme = Doğru ya da yanlış , kesin hüküm bildiren ifadelerdir.
p,q,r gibi ifadelerle gösterilir

1 Doğru,
0 Yanlış anlamına gelir.

Değil = bir önermede belirtilen olayın tersidir
Örneğin 2+5=7 - p önermesi olursa
p’nin değili (p' ile gösterilir) 2+5#7 dir.

V = veya

L =ve

Þ = İse

Û = ancak ve ancak anlamına gelir.

Veya İşlemi (V)

Bileşenlerinden en az birisi doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0).

Tablo

p	q	p v q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Ve İşlemi (L)

Bileşenlerinin her ikisi de doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0).

Tablo

p	q	p L q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Veya ile Ve nin Özellikleri

p,q,r önermeleri için:

1) pvp=p
pLp=p

2) pvq=qvp değişme özellliği
pvq=qvp

3) (pvq)vr=pv(qvr)
(pLq)^r=pL (qLr) birleşme özelliği

4) pv(qLr)=(pvq) L (pvr)
pL (qcr)=(pLq)v(pLr) dağılma özelliği

De morgan kuralı

(pvq)'=p'Lq' aynı özellik diğer durumdada geçerlidir.

Kurallar
1)pv1=1
2)pL1=p
3)pv0=p
4)pL0=0
5)pvp'=1
6)pLp'=0
7)pv(pvq)=p


İse İşlemi (Þ)

Önermede
P doğru q yanlış ise yanlış diğer durumlarda doğrudur.

Tablo

p	q	pÞq
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Özellikler
1) p Þ p=1

2) p Þ 0=p'

3) p Þ p'=p

4) 0 Þ p=1

6) p Þ 1=1

5) 1 Þ p=p

7) p Þ q=p'vq

Ancak ve Ancak (Û)

p ile q aynı değerde iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.

Tablo

p	q	pÛq
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Özellikler

1)p Û q=q Û p değişme özelliği
2)p Û q=(pÞq) v (qÞp)

Kurallar
1.p Û p=1
2.p Û p'=0
3.p Û 1=p
4.p Û 0=p'


Totoloji
Bir önerme daima 1 çıkıyorsa totolojidir.

Çelişki
Bir önerme daima 0 çıkıyorsa çelişkidir.